Matematikai feladatok

Egyszerűbb feladatok

  1. Egy kétjegyű szám négyzetének és a felcserélt kétjegyű szám köbének különbsége 128 illetve 8148. Melyik ez a kétjegyű szám?
  2. Melyek azok a kétjegyű számok, amelyek prímek és jegyeiket felcserélve is prímek?

Nehezebb feladatok

  1. Trianguláris számoknak nevezzük az n(n-1)/2 (ahol az n = 2,3,...) alakban írható természetes számokat. Készítsünk programot, mely ezeket a számokat állítja elő!
  2. Keressük meg azokat a természetes számokat, amelyekre (n-1)!+1=n2 !
  3. Keressünk olyan p prímeket, amelyekre:
           p+10
           p+14
           p2+2
    is prímszám!
  4. Mersenne-prímnek nevezzük a 2p-1 alakú prímszámot, ha p prím. Keressünk ilyen alakú összetett számot!
  5. Fermat-féle számoknak szokás nevezni a 22n+1 alakú számokat. Keressük meg közülük a prímszámokat!
  6. Négyesikerprímeknek nevezzük azokat a számokat, amelyekre p, p+2, p+6 és p+8 is prímszám. Keressünk adott intervallumban ilyen négyesikreket! Miért nem szerepel a sorban a p+4?
  7. Keressük meg az összes olyan n természetes számot, amelyekre az n+1, n+3, n+7, n+9, n+13 és n+15 számok mindegyike prímszám! Ha az utolsó feltételt elhagyjuk, akkor találunk-e további számot?
  8. Keressünk olyan n természetes számot, amelyre n2-3 osztható 1-nél nagyobb négyzetszámmal!
  9. Keressünk olyan természetes számot, ami után legalább 12 összetett szám következik!
  10. Keressük meg adott számig a legtöbb osztójú természetes számot!
  11. Erősen összetett számnak nevezzük azokat a természetes számokat, amelyek osztói száma több, mint bármely náluk kisebb természetes szám osztói száma. Készítsünk adott N-ig erősen összetett számot kereső programot!
  12. Határozzuk meg adott intervallumban, hogy a számok hány százaléka esetében kisebb a valódi osztók összege a számnál!
  13. Suryanarayana nevezte el nagyon tökéletesnek azt a természetes számot, amelyre teljesül, hogy az osztóinak összegének osztóinak összege a szám kétszerese
    (például a 16, mert 1+2+4+8+16=31 → 1+31=32=2*16 ). Keressünk ilyen számokat!
  14. Egy számot k-szorosan tökéletesnek nevezünk, ha a nála kisebb pozitív osztóinak összege a szám k-szorosa. Keressünk 2, 3, 4, 5-szörösen tökéletes számokat adott intervallumban! (Ez ideig nem találtak 7-nél nagyobb tökéletességű számot!)
  15. Keressük meg azokat a háromjegyű számokat, amelyeknek számjegyeiből képzett számok faktoriálisainak összege vagy szorzata megegyezik a számmal
  16. Keressünk olyan számokat, amelyekre a számjegyek négyzetösszege egyenlő magával a számmal!
  17. Keressünk olyan számokat, amelyek négyzete azonos a szám kétszeri leírásával kapott számmal!
  18. Keressünk olyan általános Armstrong-féle számot, amelynek ha jegyeit a) négyzetre b) köbre emeljük és összeadjuk, magát a számot kapjuk!
  19. Keressük meg azt a legkisebb természetes számot, amelynek utolsó jegyét törölve, de egyidejűleg a többi számjegy elé átírva az eredeti szám négyszeresét kapjuk!
  20. Keressünk olyan természetes számokat, amelynek jegyei az 1234567890 szám jegyeinek permutációja, és valamilyen hatvány!
  21. Keressünk olyan számokat, amelyeknek négyzete azonos két, illetve három jegyre végződik az alappal!
  22. Keressünk olyan számokat, amelyekre teljesül, hogy a rákövetkezőket utánuk írva négyzetszámot kapunk!
  23. Keressünk olyan prímszámokat, amelyek egyszerre összegei és különbségei két prímszámnak!
  24. Keressünk olyan n>1 természetes számot, amelyre az 1-től n-ig terjedő természetes számok négyzeteinek összege valamely szám négyzete!
  25. Hányféleképpen lehet felváltani egy 20-ast 1-es, 2-es és 5-ös pénzdarabokra?
  26. Hányféleképpen lehet összerakni 100 forintot 1, 2, 5, 10, 20 és 50 forintos pénzértékekből?
  27. Egy 5 méter hosszú kerítés szegélyéhez 15, 20 és 93 cm hosszúságú lécek állnak rendelkezésre. Adjuk meg a legkevesebb darabból összeállított szegélyt!
  28. Keressük meg az x3+y3=z3+1 egyenlet legkisebb pozitív egész megoldását!
  29. Keressünk megoldását az x2+4=y3 egyenletnek.
  30. Keressünk két olyan természetes számot, amelyek külön-külön felírhatók három négyzetszám összegeként, de a szorzatuk nem!
  31. Határozzuk meg az x2+y2=z4 egyenlet egy megoldását!
  32. Keressünk olyan természetes számötöst, amely megoldása az x5+y5+z5+t5=w5 egyenletnek! (Az Euler-sejtés ellenpéldája.)
  33. Bontsuk fel adott intervallumban a természetes számokat négy természetes szám négyzetének összegére! (Hardy sejtésének próbája.)